условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель дроби не обращается в нуль.
ОДЗ
шаг 2.Делаем замену
Пусть t = 2ˣ, t > 0, так как показательная функция всегда положительна.
шаг 3.Сводим к одной дроби
Числитель раскладываем группировкой: вынесли t, затем разбили −12t² = −2t² − 10t² и 36t = 20t + 16t так, чтобы в каждой группе появился общий множитель (t − 2). После его выноса остаётся t² − 10t + 16 = (t − 2)(t − 8) (по Виета: сумма 10, произведение 16). Итог: t(t − 2)²(t − 8).
шаг 4.Метод интервалов в t
Точка t = 0 выколота (t = 2ˣ > 0). Зона (−∞; 0) отрицательна и формально проходит под ≤ 0, но условие замены t > 0 её отсекает. Корень t = 2 чётной кратности — петелька, даёт изолированную точку. t = 8 закрашен, t = 9 — разрыв. Решение: t = 2 и 8 ≤ t < 9.
Пробная точка t = 1 на (0; 2): 1·(1 − 2)²(1 − 8)/(1 − 9) = (−7)/(−8) > 0 → знак «+». Через петельку при t = 2 знак сохраняется.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 5.Обратная замена
Возвращаемся к x, подставляя t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— знак неравенства сохраняется.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
log₂9 ≈ 3,17. Точка x = 1 — изолированное решение (петелька при t = 2).