условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель дроби не обращается в нуль. Единицу записываем как 3⁰ и снимаем основание степениПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— переходим к показателям степени.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
ОДЗ
шаг 2.Сводим к одной дроби
Переписываем знаменатель: 1 − 3ˣ⁻¹ = (3 − 3ˣ)/3. Переносим правую часть влево и приводим к общему знаменателю.
Раскрываем (2·3ˣ − 5·2ˣ + 6)(3 − 3ˣ) = 6·3ˣ − 2·9ˣ − 15·2ˣ + 5·6ˣ + 18 − 6·3ˣ; слагаемые 6·3ˣ сокращаются, а при вычитании −15·2ˣ и +18 пропадают. Остаётся 3·4ˣ − 5·6ˣ + 2·9ˣ.
шаг 3.Раскладываем числитель на множители
Числитель — однородный по 2ˣ и 3ˣ. Раскладываем группировкой, без замены переменных.
Разбиваем −5·6ˣ = −3·6ˣ − 2·6ˣ; из первых двух слагаемых выносим 3·2ˣ, из последних — 2·3ˣ, остаётся общая скобка (2ˣ − 3ˣ).
шаг 4.Нули числителя и знаменателя
Каждый множитель — разность степеней с одинаковым показателем, поэтому обнуляется ровно в одной точкеКогда работает метод интервалов?
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0.. Приравниваем каждый множитель к нулю и находим корни.
➀ Полиномы и дроби — корни находятся алгебраически, между ними знак постоянен.
Пример:
Пример:
➁ Разности степеней одного основания
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
➂ Разность одинаковых степеней
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
· В ② и ③ только разность! Сумма всегда , корня нет → не учитываем.
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Смешанные — не работает
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0.
x = 0 — нуль числителя (множитель 2ˣ − 3ˣ). x = 1 — нуль и числителя (3·2ˣ − 2·3ˣ), и знаменателя (3 − 3ˣ): общий нуль.Показательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
шаг 5.Метод интервалов в x
Корень числителя x = 0 — закрашен (нестрогое ≤). Точка разрыва x = 1 — выколота по ОДЗ; это общий нуль числителя и знаменателя, суммарно чётной кратности → петелька, знак через неё не меняется. Знак на интервалах — одной пробной точкой и чередованием.
Пробная точка x = 2 на (1; +∞): (4 − 9)(3·4 − 2·9)/(3 − 9) = (−5)(−6)/(−6) = −5 < 0 → «−». Через петельку x = 1 знак не меняется → на (0; 1) тоже «−»; через простой нуль x = 0 знак меняется → на (−∞; 0) знак «+».Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.