условие

3(22−x2−1)2−422−x2−1+1≥0

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не обращается в нуль.

ОДЗ
22−x2−1≠0
2−x2≠0
x≠±2

шаг 2.Делаем замену

Пусть t = 2²⁻ˣ², t > 0 (показательная функция всегда положительна). Тогда знаменатель 2²⁻ˣ² − 1 = t − 1, и всё неравенство выражается через t.

t=22−x2,t>0
3(t−1)2−4t−1+1≥0

шаг 3.Сводим к одной дроби

3−4(t−1)+(t−1)2(t−1)2≥0
t2−6t+8(t−1)2≥0
(t−2)(t−4)(t−1)2≥0

Общий знаменатель (t − 1)². Числитель: 3 − 4(t − 1) + (t − 1)² = 3 − 4t + 4 + t² − 2t + 1 = t² − 6t + 8 = (t − 2)(t − 4) (по Виета: сумма 6, произведение 8 → корни 2 и 4).

шаг 4.Метод интервалов в t

Точка t = 0 выколота (t = 2²⁻ˣ² > 0): зона (−∞; 0) положительна и формально проходит под ≥ 0, но условие замены t > 0 её отсекает. Корень знаменателя t = 1 чётной кратности — петелька: знак через него не меняется, точка выколота. Корни числителя t = 2 и t = 4 закрашены (нестрогое ≥). Решение: 0 < t < 1, 1 < t ≤ 2 и t ≥ 4.

(t−2)(t−4)(t−1)2≥0
+++−+0124
−∞
+∞
t
Пробная точка t = 3 на (2; 4): (3 − 2)(3 − 4)/(3 − 1)² = (−1)/4 < 0 → знак «−». Через петельку при t = 1 знак сохраняется.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
+ +
(−∞;a)∪(a;+∞)
≥ 0
+ +
(−∞;+∞)
< 0
+ +
⌀
≤ 0
+ +
{a}
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 2²⁻ˣ². Условие t > 0 выполнено автоматически. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция y=ax монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
a > 1: возрастает 0 1 x₁ ax₁ x₂ ax₂
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
0 < a < 1: убывает 0 1 x₁ ax₁ x₂ ax₂
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: aA≤aB⟺A≤B (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: aA≤aB⟺A≥B (знак переворачивается).
 — знак неравенства сохраняется.
1)0<t<1
22−x2<20
2−x2<0
x2>2
|x|>2
2)1<t≤2
20<22−x2≤21
0<2−x2≤1
1≤x2<2
1≤|x|<2
3)t≥4
22−x2≥22
2−x2≥2
x2≤0
x=0
случай 1
−2
2
−∞
+∞
x
случай 21−1
−2
2
−∞
+∞
x
случай 30
−∞
+∞
x
ответ1−01
−2
2
−∞
+∞
x

Объединяем: |x| ≥ 1 (без точек ±√2 по ОДЗ) плюс изолированная точка x = 0.

ответ

x∈(−∞;−2)∪(−2;−1]∪{0}∪[1;2)∪(2;+∞)
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -