условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатели дробей не обращаются в нуль.
ОДЗ
шаг 2.Делаем замену
Пусть t = 7ˣ, t > 0, так как показательная функция всегда положительна.
шаг 3.Сводим к одной дроби
шаг 4.Метод интервалов в t
Корни числителя: t = 9 — закрашен (нестрогое ≥). Точки разрыва знаменателя: 4 и 7 — выколоты. На (−∞; 4) дробь положительна и формально проходит ≥ 0, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 4) ∪ (7; 9].
Пробная точка t = 8 на интервале (7; 9): 3(9 − 8)/((8 − 7)(8 − 4)) = 3/(1·4) = 3/4 > 0, значит знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются.
шаг 5.Обратная замена
Возвращаемся к x, подставляя t = 7ˣ. Основание степени 7 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— знак неравенства сохраняется.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 7ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 первого интервала (0; 4) выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 7ˣ < 4.
log₇4 ≈ 0,71 и log₇9 = 2·log₇3 ≈ 1,13.