Задача 10150613 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{7 - 2 \cdot 2^{x}}{4^{x} - 12 \cdot 2^{x} + 32} \geq 0,25

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не обращается в нуль.

ОДЗ

4^{x} - 12 \cdot 2^{x} + 32 \neq 0

(2^{x} - 4) (2^{x} - 8) \neq 0

{\begin{matrix} 2^{x} \neq 4 \\ 2^{x} \neq 8 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 2 \\ x \neq 3 \end{matrix}

Знаменатель — квадратный трёхчлен относительно 2ˣ: так как 4ˣ = (2ˣ)², получаем (2ˣ)² − 12·2ˣ + 32. По теореме Виета (сумма корней 12, произведение 32) корни равны 4 и 8, поэтому трёхчлен раскладывается на скобки (2ˣ − 4)(2ˣ − 8).

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

t = 2^{x}, t > 0

4^{x} = {(2^{x})}^{2} = t^{2}

4^{x} - 12 \cdot 2^{x} + 32 = (t - 4) (t - 8)

\frac{7 - 2 t}{(t - 4) (t - 8)} \geq \frac{1}{4}

шаг 3.Сводим к одной дроби

\frac{4 (7 - 2 t) - (t - 4) (t - 8)}{4 (t - 4) (t - 8)} \geq 0

\frac{28 - 8 t - t^{2} + 12 t - 32}{4 (t - 4) (t - 8)} \geq 0

\frac{- t^{2} + 4 t - 4}{4 (t - 4) (t - 8)} \geq 0

\frac{- {(t - 2)}^{2}}{4 (t - 4) (t - 8)} \geq 0

шаг 4.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 2 — чётной кратности 2 (квадрат), поэтому ставим петельку: знак через точку не меняется. Неравенство нестрогое (≥), и числитель при t = 2 обнуляется, поэтому точка закрашена и входит в ответ изолированной точкой. Точки разрыва знаменателя: 4 и 8 — выколоты.

Пробная точка t = 6 на (4; 8): −(6 − 2)²/(4(6 − 4)(6 − 8)) = −16/(−16) = 1 > 0 → знак «+». Через петельку t = 2 знак не меняется (чётная кратность); вне (4; 8) и точки t = 2 дробь отрицательна. Все корни положительны — условие t > 0 выполняется само.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

1) 2^{x} = 2

2^{x} = 2^{1}

x = 1

2) 4 < 2^{x} < 8

2^{2} < 2^{x} < 2^{3}

2 < x < 3

ответ

x \in {1} \cup (2; 3)

$\frac{13 - 5 \cdot 3^{x}}{9^{x} - 12 \cdot 3^{x} + 27} \geq 0,5$