Задача 10150607 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{8^{- x} - 5 \cdot {0,5}^{x}}{2^{- x} - 2^{x + 4}} \geq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не обращается в нуль.

ОДЗ

2^{- x} - 2^{x + 4} \neq 0

2^{- x} \neq 2^{x + 4}

- x \neq x + 4

x \neq - 2

шаг 2.Выносим множители

Раскладываем 8⁻ˣ = 2⁻ˣ·4⁻ˣ и 0,5ˣ = 2⁻ˣ, затем сокращаем дробь на общий множитель 2⁻ˣ > 0.

8^{- x} - 5 \cdot {0,5}^{x} = 2^{- x} (4^{- x} - 5)

2^{- x} - 2^{x + 4} = 2^{- x} (1 - 16 \cdot 4^{x})

\frac{2^{- x} (4^{- x} - 5)}{2^{- x} (1 - 16 \cdot 4^{x})} \geq 0

\frac{4^{- x} - 5}{1 - 16 \cdot 4^{x}} \geq 0

Сокращение на 2⁻ˣ ничего не портит: 2⁻ˣ > 0 при любом x и в ноль не обращается, поэтому ни корней, ни точек ОДЗ не теряем; положительный множитель на знак дроби не влияет — решение и ответ остаются прежними.

шаг 3.Замена u = 4ˣ

Показательная функция положительна, поэтому u > 0; умножаем числитель и знаменатель на u.

u = 4^{x}, u > 0

4^{- x} = \frac{1}{u}

\frac{\frac{1}{u} - 5}{1 - 16 u} \geq 0

\frac{1 - 5 u}{u (1 - 16 u)} \geq 0

шаг 4.Метод интервалов в u

Корень числителя: u = 1/5 — закрашен (нестрогое ≥). Точки разрыва знаменателя: u = 0 и u = 1/16 — выколоты.

Пробная точка u = 1/10: (1 − 1/2) / ((1/10)(1 − 8/5)) = (1/2)/(−3/50) < 0 → знак «−».

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя u = 4ˣ. Основание степени 4 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

Условие u > 0 из замены отдельно не проверяем: u = 4ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница 0 < 4ˣ первого случая выполняется автоматически и сужения не даёт.

1) 0 < 4^{x} < \frac{1}{16}

4^{x} < 4^{- 2}

x < - 2

2) 4^{x} \geq \frac{1}{5}

x \geq \log_{4} \frac{1}{5}

x \geq - \log_{4} 5

log₄5 ≈ 1,16, поэтому −log₄5 ≈ −1,16.

ответ

x \in (- \infty; - 2) \cup [- \log_{4} 5; + \infty)

$\frac{8^{x} - 5 \cdot 2^{x}}{2^{x} - 2^{4 - x}} \geq 0$