условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель дроби не обращается в нуль.
ОДЗ
шаг 2.Делаем замену
Показательная функция положительна, поэтому t > 0.
шаг 3.Сводим к одной дроби
t² − 2t − 8: произведение −8, сумма 2 → корни 4 и −2, значит t² − 2t − 8 = (t − 4)(t + 2).
шаг 4.Метод интервалов в t
Корни числителя t = −2 и t = 4 — закрашены (нестрогое ≤), точка разрыва знаменателя t = 82 — выколота.
Пробная точка t = 0: (0 − 4)(0 + 2)/(0 − 82) = (−8)/(−82) > 0 → знак «+» на (−2; 4).
шаг 5.Обратная замена
Возвращаемся к x, подставляя t = 3ˣ. Так как 3ˣ > 0, ветвь 3ˣ ≤ −2 решений не даёт. Основание степени 3 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— знак неравенства сохраняется.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
log₃4 ≈ 1,26 и log₃82 ≈ 4,01.