Задача 10150602 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{2}{5^{x} - 1} + \frac{5^{x} - 2}{5^{x} - 3} \geq 2

Знаменатели дробей не обращаются в нуль.

ОДЗ

{\begin{matrix} 5^{x} - 1 \neq 0 \\ 5^{x} - 3 \neq 0 \end{matrix}

{\begin{matrix} 5^{x} \neq 1 \\ 5^{x} \neq 3 \end{matrix}

{\begin{matrix} x \neq 0 \\ x \neq \log_{5} 3 \end{matrix}

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

t = 5^{x}, t > 0

\frac{2}{t - 1} + \frac{t - 2}{t - 3} \geq 2

\frac{2}{t - 1} + \frac{t - 2}{t - 3} - 2 \geq 0

\frac{2 (t - 3) + (t - 2) (t - 1) - 2 (t - 1) (t - 3)}{(t - 1) (t - 3)} \geq 0

2 t - 6 + t^{2} - 3 t + 2 - 2 (t^{2} - 4 t + 3)

= 2 t - 6 + t^{2} - 3 t + 2 - 2 t^{2} + 8 t - 6

= - t^{2} + 7 t - 10

= - (t - 2) (t - 5)

\frac{- (t - 2) (t - 5)}{(t - 1) (t - 3)} \geq 0

\frac{(t - 2) (t - 5)}{(t - 1) (t - 3)} \leq 0

Корни t² − 7t + 10 подбираем устно по теореме Виета: произведение 10, сумма 7 → t = 2 и t = 5.

Нули числителя: t = 2, t = 5 (закрашены). Нули знаменателя: t = 1, t = 3 (выколоты).

Пробная точка t = 4: (4−2)(4−5)/((4−1)(4−3)) = (2)(−1)/(3·1) = −2/3 < 0, знак «−».

Возвращаемся к x, подставляя t = 5ˣ. Основание степени 5 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

1) 1 < 5^{x} \leq 2

0 < x \leq \log_{5} 2

2) 3 < 5^{x} \leq 5

\log_{5} 3 < x \leq 1

log₅2 ≈ 0,43 и log₅3 ≈ 0,68.

x \in (0; \log_{5} 2] \cup (\log_{5} 3; 1]