Задача 10150597 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

5^{\frac{2 x}{x + 3}} - 5^{\frac{2 x + 3}{x + 3}} \geq 5^{\frac{x}{x + 3}} - 5

В показателях степени дробь с знаменателем x + 3.

ОДЗ

x + 3 \neq 0 ⟺ x \neq - 3

Все показатели степени выражаются через x/(x+3).

\frac{2 x}{x + 3} = 2 \cdot \frac{x}{x + 3}

\frac{2 x + 3}{x + 3} = \frac{(x + 3) + x}{x + 3} = 1 + \frac{x}{x + 3}

5^{\frac{2 x}{x + 3}} = {(5^{\frac{x}{x + 3}})}^{2}, 5^{\frac{2 x + 3}{x + 3}} = 5 \cdot 5^{\frac{x}{x + 3}}

Обозначим t = 5^{x/(x+3)}. Показательная функция строго положительна, поэтому t > 0.

{(5^{\frac{x}{x + 3}})}^{2} - 5 \cdot 5^{\frac{x}{x + 3}} \geq 5^{\frac{x}{x + 3}} - 5

t = 5^{\frac{x}{x + 3}}, t > 0

t^{2} - 5 t \geq t - 5

t^{2} - 6 t + 5 \geq 0

D = 36 - 20 = 16

t = \frac{6 \pm 4}{2} \begin{matrix} = 5 \\ = 1 \end{matrix}

(t - 1) (t - 5) \geq 0

Ведущий коэффициент положительный — парабола вверх, ≥ 0 вне корней. Условие t > 0 не ограничивает — оба корня положительны.

Подставляем t = 5^{x/(x+3)}. Основание 5 > 1, возрастает — сравниваем показатели.

t \leq 1

5^{\frac{x}{x + 3}} \leq 5^{0}

\frac{x}{x + 3} \leq 0

t \geq 5

5^{\frac{x}{x + 3}} \geq 5^{1}

\frac{x}{x + 3} \geq 1

Случаи связаны через ИЛИ — объединяем результаты.

\frac{x}{x + 3} \leq 0

x \in (- 3; 0]

\frac{x}{x + 3} - 1 \geq 0

\frac{- 3}{x + 3} \geq 0

x \in (- \infty; - 3)

Случаи связаны через ИЛИ — объединяем. Точка x = −3 выколота по ОДЗ.

x \in (- \infty; - 3) \cup (- 3; 0]