условие
шаг 1.Замена переменной
ОДЗ — вся числовая прямая. Замечаем, что выражение (7ˣ + 7⁻ˣ)/2 повторяется — обозначим его y.
Проверка по Виета: сумма корней 3 + 1/2 = 7/2, произведение 3 · 1/2 = 3/2 — совпадает с коэффициентами нормированного y² − 7y/2 + 3/2.
шаг 2.Замена t = 7ˣ
Подставляем t = 7ˣ (t > 0) и разбиваем двойное неравенство на систему. Домножаем каждое на t — знак сохраняется, так как t > 0.
① не ограничивает t — трёхчлен t² − t + 1 положителен при любом t. Оба корня ②: 3 − 2√2 ≈ 0,17 и 3 + 2√2 ≈ 5,83 — положительны, поэтому условие t > 0 выполняется автоматически.
шаг 3.Логарифмируем
Основание 7 > 1 — показательная функция возрастает,Показательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
логарифмируем обе части. Левую границу упрощаем: (√2 − 1)(√2 + 1) = 1, поэтому 3 − 2√2 = 1/(3 + 2√2).· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Проверка: x = 0 ⇒ y = (1 + 1)/2 = 1, подставляем: 2·1 − 7 + 3 = −2 ≤ 0 ✓ — середина отрезка входит в ответ.