Задача 10150591 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

2 \cdot 20^{x} - 17 \cdot 10^{x} - 2 \cdot 8^{x} + 8 \cdot 5^{x} + 17 \cdot 4^{x} - 2^{x + 3} \leq 0

шаг 1.Раскладываем степени

ОДЗ — вся числовая прямая. Раскладываем составные основания через 2ˣ и 5ˣ.

20^{x} = 4^{x} \cdot 5^{x}, 10^{x} = 2^{x} \cdot 5^{x}

8^{x} = {(2^{x})}^{3}, 4^{x} = {(2^{x})}^{2}, 2^{x + 3} = 8 \cdot 2^{x}

2 \cdot {(2^{x})}^{2} \cdot 5^{x} - 17 \cdot 2^{x} \cdot 5^{x} - 2 \cdot {(2^{x})}^{3} + 8 \cdot 5^{x} + 17 \cdot {(2^{x})}^{2} - 8 \cdot 2^{x} \leq 0

шаг 2.Группируем и выносим

Собираем слагаемые с 5ˣ и без 5ˣ. Общий множитель (5ˣ − 2ˣ).

5^{x} (2 \cdot 4^{x} - 17 \cdot 2^{x} + 8) - 2^{x} (2 \cdot 4^{x} - 17 \cdot 2^{x} + 8) \leq 0

(5^{x} - 2^{x}) (2 \cdot 4^{x} - 17 \cdot 2^{x} + 8) \leq 0

шаг 3.Четыре случая

Произведение ≤ 0: множители разных знаков или равны нулю.

A \cdot B \leq 0 ⟺ {\begin{matrix} A \geq 0 \\ B \leq 0 \end{matrix} или {\begin{matrix} A \leq 0 \\ B \geq 0 \end{matrix} или A = 0 или B = 0

\begin{matrix} а) {\begin{matrix} 5^{x} - 2^{x} \geq 0 \\ 2 \cdot 4^{x} - 17 \cdot 2^{x} + 8 \leq 0 \end{matrix} \\ б) {\begin{matrix} 5^{x} - 2^{x} \leq 0 \\ 2 \cdot 4^{x} - 17 \cdot 2^{x} + 8 \geq 0 \end{matrix} \\ в) 5^{x} - 2^{x} = 0 \\ г) 2 \cdot 4^{x} - 17 \cdot 2^{x} + 8 = 0 \end{matrix}

шаг 4.Решаем (а) и (б)

Раскладываем второй множитель. D = 225 = 15², корни 2ˣ = 8 и 2ˣ = 1/2. Основания > 1, возрастают.

2 \cdot {(2^{x})}^{2} - 17 \cdot 2^{x} + 8 = 0

D = 289 - 64 = 225 = 15^{2}

2^{x} = \frac{17 \pm 15}{4} \begin{matrix} = 8 \\ = \frac{1}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} а) & б) \\ {\begin{matrix} 5^{x} \geq 2^{x} \\ \frac{1}{2} \leq 2^{x} \leq 8 \end{matrix} & {\begin{matrix} 5^{x} \leq 2^{x} \\ 2^{x} \leq \frac{1}{2} или 2^{x} \geq 8 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x \geq 0 \\ - 1 \leq x \leq 3 \end{matrix} & {\begin{matrix} x \leq 0 \\ x \leq - 1 или x \geq 3 \end{matrix} \\ x \in [0; 3] & x \in (- \infty; - 1] \end{matrix}

шаг 5.Решаем (в), (г) и находим ответ

Все точки из (в) и (г) уже входят в (а) или (б).

\begin{matrix} в) & г) \\ 5^{x} = 2^{x} & 2^{x} = 8 или 2^{x} = \frac{1}{2} \\ x = 0 & x = 3 или x = - 1 \\ x \in {0} & x \in {- 1; 3} \end{matrix}

ответ

x \in (- \infty; - 1] \cup [0; 3]