Задача 10150588 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

32 \cdot 2^{x^{2} + 3 x} - \frac{2^{x^{2}}}{16} + 1 \geq 2^{3 x + 9}

шаг 1.Раскрываем и группируем

ОДЗ — вся числовая прямая. Приводим коэффициенты к степеням двойки: 32 = 2⁵, 16 = 2⁴. Группируем по парам и выносим общий множитель.

2^{x^{2} + 3 x + 5} - 2^{x^{2} - 4} + 1 - 2^{3 x + 9} \geq 0

2^{x^{2} - 4} (2^{3 x + 9} - 1) - (2^{3 x + 9} - 1) \geq 0

(2^{3 x + 9} - 1) (2^{x^{2} - 4} - 1) \geq 0

Группируем (1+2) и (3+4): из первой пары выносим 2^{x²−4}, из второй — (−1). Общий множитель (2^{3x+9} − 1).

шаг 2.Четыре случая

Произведение ≥ 0 в четырёх случаях. В (а) и (б) оба множителя одного знака — пересекаем. В (в) и (г) равенство нулю — объединяем.

A \cdot B \geq 0 ⟺ {\begin{matrix} A \geq 0 \\ B \geq 0 \end{matrix} или {\begin{matrix} A \leq 0 \\ B \leq 0 \end{matrix} или A = 0 или B = 0

\begin{matrix} а) {\begin{matrix} 2^{3 x + 9} - 1 \geq 0 \\ 2^{x^{2} - 4} - 1 \geq 0 \end{matrix} \\ б) {\begin{matrix} 2^{3 x + 9} - 1 \leq 0 \\ 2^{x^{2} - 4} - 1 \leq 0 \end{matrix} \\ в) 2^{3 x + 9} - 1 = 0 \\ г) 2^{x^{2} - 4} - 1 = 0 \end{matrix}

шаг 3.Решаем (а) и (б)

Основание 2 > 1, возрастает — снимаем основание степени.

\begin{matrix} а) & б) \\ {\begin{matrix} 2^{3 x + 9} \geq 1 \\ 2^{x^{2} - 4} \geq 1 \end{matrix} & {\begin{matrix} 2^{3 x + 9} \leq 1 \\ 2^{x^{2} - 4} \leq 1 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} 2^{3 x + 9} \geq 2^{0} \\ 2^{x^{2} - 4} \geq 2^{0} \end{matrix} & {\begin{matrix} 2^{3 x + 9} \leq 2^{0} \\ 2^{x^{2} - 4} \leq 2^{0} \end{matrix} \\ {\begin{matrix} 3 x + 9 \geq 0 \\ x^{2} - 4 \geq 0 \end{matrix} & {\begin{matrix} 3 x + 9 \leq 0 \\ x^{2} - 4 \leq 0 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x \geq - 3 \\ (x + 2) (x - 2) \geq 0 \end{matrix} & {\begin{matrix} x \leq - 3 \\ - 2 \leq x \leq 2 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x \geq - 3 \\ x \leq - 2 или x \geq 2 \end{matrix} & ⌀ \\ x \in [- 3; - 2] \cup [2; + \infty) & x \in ⌀ \end{matrix}

(а): нижняя выноска — x ≥ −3, верхние — x ≤ −2 или x ≥ 2. Пересечение: [−3; −2] ∪ [2; +∞). (б): выноски не пересекаются → ∅.

шаг 4.Решаем (в), (г) и находим ответ

Решаем оставшиеся случаи и объединяем все четыре результата. Из (б) ответ пустой, из (в) и (г) — точки, которые уже входят в (а). Итого ответ совпадает с (а).

\begin{matrix} в) & г) \\ 2^{3 x + 9} = 1 = 2^{0} & 2^{x^{2} - 4} = 1 = 2^{0} \\ 3 x + 9 = 0 & x^{2} - 4 = 0 \\ x = - 3 & x = \pm 2 \\ x \in {- 3} & x \in {- 2; 2} \end{matrix}

Все точки из (в) и (г) — x = −3, −2, 2 — уже входят в интервалы (а).

ответ

x \in [- 3; - 2] \cup [2; + \infty)

$\frac{5^{2 x^{2} + 2 x}}{125} - 5^{2 x^{2}} + 25 \leq \frac{5^{2 x}}{5}$