Задача 10150586 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

{(\frac{7}{3})}^{\frac{x^{2} + 3 x - 1}{x + 2}} \geq \frac{2}{3} \cdot {3,5}^{x + 1 - \frac{3}{x + 2}}

Знаменатель дробного показателя не равен нулю.

ОДЗ

x + 2 \neq 0 ⟺ x \neq - 2

Показатели степеней выражаются через x + 1 − 3/(x+2). Раскладываем (x²+3x−1)/(x+2) и переписываем неравенство. 3,5 = 7/2.

\frac{x^{2} + 3 x - 1}{x + 2} = \frac{(x + 2) (x + 1) - 3}{x + 2} = x + 1 - \frac{3}{x + 2}

{(\frac{7}{3})}^{x + 1 - \frac{3}{x + 2}} \geq \frac{2}{3} \cdot {(\frac{7}{2})}^{x + 1 - \frac{3}{x + 2}}

Обозначим повторяющееся выражение через u. Делим обе части на (7/2)^u > 0 — знак сохраняется.

u = x + 1 - \frac{3}{x + 2}

{(\frac{7}{3})}^{u} \geq \frac{2}{3} \cdot {(\frac{7}{2})}^{u}

\frac{{(7 / 3)}^{u}}{{(7 / 2)}^{u}} \geq \frac{2}{3}

{(\frac{7 / 3}{7 / 2})}^{u} \geq \frac{2}{3}

{(\frac{2}{3})}^{u} \geq {(\frac{2}{3})}^{1}

(7/3) ÷ (7/2) = (7/3)·(2/7) = 2/3.

Основание 2/3 < 1, убывает — при снятии основания знак разворачивается. Подставляем u = x + 1 − 3/(x+2) и приводим к одной дроби.

{(\frac{2}{3})}^{u} \geq {(\frac{2}{3})}^{1}

u \leq 1

x + 1 - \frac{3}{x + 2} \leq 1

x - \frac{3}{x + 2} \leq 0

\frac{x (x + 2) - 3}{x + 2} \leq 0

\frac{x^{2} + 2 x - 3}{x + 2} \leq 0

\frac{(x + 3) (x - 1)}{x + 2} \leq 0

Корни числителя: x = −3 и x = 1 закрашены (нестрогое ≤). Точка x = −2 выколота по ОДЗ.

Пробная x = 0: (0+3)(0−1)/(0+2) = −3/2 < 0 → знак «−».

x \in (- \infty; - 3] \cup (- 2; 1]