Задача 10150585 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

{(\frac{5}{3})}^{\frac{x^{2} + x - 3}{x + 1}} \leq \frac{2}{3} \cdot {2,5}^{x - \frac{3}{x + 1}}

Знаменатель дробного показателя не равен нулю.

ОДЗ

x + 1 \neq 0 ⟺ x \neq - 1

Показатели степеней выражаются через x − 3/(x+1). Раскладываем (x²+x−3)/(x+1) и переписываем неравенство. 2,5 = 5/2.

\frac{x^{2} + x - 3}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot x - 3}{x + 1} = x - \frac{3}{x + 1}

{(\frac{5}{3})}^{x - \frac{3}{x + 1}} \leq \frac{2}{3} \cdot {(\frac{5}{2})}^{x - \frac{3}{x + 1}}

Обозначим повторяющееся выражение через u. Делим обе части на (5/2)^u > 0 — знак сохраняется.

u = x - \frac{3}{x + 1}

{(\frac{5}{3})}^{u} \leq \frac{2}{3} \cdot {(\frac{5}{2})}^{u}

\frac{{(5 / 3)}^{u}}{{(5 / 2)}^{u}} \leq \frac{2}{3}

{(\frac{5 / 3}{5 / 2})}^{u} \leq \frac{2}{3}

{(\frac{2}{3})}^{u} \leq {(\frac{2}{3})}^{1}

(5/3) ÷ (5/2) = (5/3)·(2/5) = 2/3.

Основание 2/3 < 1, убывает — при снятии основания знак разворачивается. Подставляем u = x − 3/(x+1) и приводим к одной дроби.

{(\frac{2}{3})}^{u} \leq {(\frac{2}{3})}^{1}

u \geq 1

x - \frac{3}{x + 1} \geq 1

x - \frac{3}{x + 1} - 1 \geq 0

\frac{x (x + 1) - 3 - (x + 1)}{x + 1} \geq 0

\frac{x^{2} + x - 3 - x - 1}{x + 1} \geq 0

\frac{x^{2} - 4}{x + 1} \geq 0

\frac{(x - 2) (x + 2)}{x + 1} \geq 0

Корни числителя: x = −2 и x = 2 закрашены (нестрогое ≥). Точка x = −1 выколота по ОДЗ.

Пробная x = 0: (0−2)(0+2)/(0+1) = −4 < 0 → знак «−».

x \in [- 2; - 1) \cup [2; + \infty)