условие
шаг 1.Двойная замена
ОДЗ — вся числовая прямая. Обозначим показатель t = x² + 2x − 5. Заметим: 4ᵗ = (2ᵗ)². Замена y = 2ᵗ, y > 0 — показательная функция всегда положительна.
Виета для нормированного y² − 33y/4 + 2: произведение 2 = (1/4)·8, сумма 33/4. Парабола ветвями вверх, поэтому ≥ 0 при y ≤ 1/4 и y ≥ 8.
шаг 2.Обратная замена y → t
Возвращаемся к t. Основание 2 > 1, возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— снимаем основание степени. Обе границы — степени двойки: 1/4 = 2⁻², 8 = 2³.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
шаг 3.Решаем в x
Подставляем t = x² + 2x − 5 и решаем квадратные неравенства. Ответы случаев объединяем,Когда объединяем, а когда пересекаем?
Если несколько условий связаны через И (одновременно выполняются), берём ПЕРЕСЕЧЕНИЕ множеств. Типичный пример — ОДЗ: «знаменатель 1 ≠ 0 И знаменатель 2 ≠ 0».
Если условия связаны через ИЛИ (выполняется хотя бы одно), берём ОБЪЕДИНЕНИЕ. Типичный пример — метод интервалов: ответ «t ∈ (−∞; −2) (0; +∞)» означает «t < −2 ИЛИ t > 0».
У нас два случая — разные альтернативы из совокупности, связанные через ИЛИ → объединяем.
так как случаи — совокупность (ИЛИ).Случай 1: Виета для x² + 2x − 3 → корни −3 и 1; ветви вверх → ≤ 0 между корнями. Случай 2: Виета для x² + 2x − 8 → корни −4 и 2; парабола вверх → ≥ 0 при x ≤ −4 и x ≥ 2.