Задача 10150575 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

{(9^{x} - 2 \cdot 3^{x})}^{2} - 62 (9^{x} - 2 \cdot 3^{x}) - 63 \geq 0

шаг 1.Замена y

ОДЗ — вся числовая прямая. Обозначим повторяющееся выражение через y.

y = 9^{x} - 2 \cdot 3^{x}

y^{2} - 62 y - 63 \geq 0

D = 62^{2} + 4 \cdot 63 = 4096 = 64^{2}

y = \frac{62 \pm 64}{2} \begin{matrix} = 63 \\ = - 1 \end{matrix}

(y + 1) (y - 63) \geq 0

y \in (- \infty; - 1] \cup [63; + \infty)

Виета для y² − 62y − 63: произведение −63, сумма 62 → корни 63 и −1. Парабола ветвями вверх, поэтому ≥ 0 при y ≤ −1 и y ≥ 63.

шаг 2.Замена t = 3ˣ

Заметим: 9ˣ = (3ˣ)². Замена t = 3ˣ, t > 0 — показательная функция всегда положительна. Подставляем t² − 2t вместо 9ˣ − 2·3ˣ и разбираем два случая.

9^{x} - 2 \cdot 3^{x} \in (- \infty; - 1] \cup [63; + \infty)

[\begin{matrix} 9^{x} - 2 \cdot 3^{x} \leq - 1 \\ 9^{x} - 2 \cdot 3^{x} \geq 63 \end{matrix}

9^{x} = {(3^{x})}^{2}, t = 3^{x}, t > 0

[\begin{matrix} t^{2} - 2 t \leq - 1 \\ t^{2} - 2 t \geq 63 \end{matrix}

\begin{matrix} Случай 1 & Случай 2 \\ t^{2} - 2 t \leq - 1 & t^{2} - 2 t \geq 63 \\ t^{2} - 2 t + 1 \leq 0 & t^{2} - 2 t - 63 \geq 0 \\ {(t - 1)}^{2} \leq 0 & (t + 7) (t - 9) \geq 0 \\ t = 1 & t \geq 9 \end{matrix}

Случай 1: (t − 1)² ≥ 0 всегда, поэтому ≤ 0 только при t = 1 — изолированная точка. Случай 2: Виета для t² − 2t − 63 → корни 9 и −7. Выноска от нуля — условие замены t = 3ˣ > 0.

шаг 3.Обратная замена

Возвращаемся к x. Основание 3 > 1, возрастает — снимаем основание степени. Ответы случаев объединяем, так как случаи — совокупность (ИЛИ).

\begin{matrix} Случай 1 & Случай 2 \\ 3^{x} = 1 = 3^{0} & 3^{x} \geq 9 = 3^{2} \\ x = 0 & x \geq 2 \end{matrix}

Объединение случаев: {0} ∪ [2; +∞).

ответ

x \in {0} \cup [2; + \infty)