Задача 10150569 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

2^{\frac{x}{x + 1}} - 2^{\frac{5 x + 3}{x + 1}} + 8 \leq 2^{\frac{2 x}{x + 1}}

Знаменатель дробных показателей не равен нулю.

ОДЗ

x + 1 \neq 0 ⟺ x \neq - 1

Показатели степеней выражаются через x/(x+1). Раскладываем (5x+3)/(x+1) и переписываем неравенство.

\frac{5 x + 3}{x + 1} = \frac{2 x + 3 (x + 1)}{x + 1} = \frac{2 x}{x + 1} + 3

2^{\frac{2 x}{x + 1} + 3} = 2^{3} \cdot 2^{\frac{2 x}{x + 1}} = 8 \cdot 2^{\frac{2 x}{x + 1}}

2^{\frac{x}{x + 1}} - 8 \cdot 2^{\frac{2 x}{x + 1}} + 8 \leq 2^{\frac{2 x}{x + 1}}

Свойство степеней: 2ᴬ⁺³ = 2³ · 2ᴬ = 8 · 2ᴬ.

Обозначим повторяющееся выражение через t, причём t > 0 — показательная функция всегда положительна.

t = 2^{\frac{x}{x + 1}}, t > 0

t - 8 t^{2} + 8 \leq t^{2}

9 t^{2} - t - 8 \geq 0

D = 1 + 4 \cdot 9 \cdot 8 = 289 = 17^{2}

t = \frac{1 \pm 17}{18} \begin{matrix} = 1 \\ = - \frac{8}{9} \end{matrix}

(9 t + 8) (t - 1) \geq 0

Проверка по Виета для 9t² − t − 8: произведение −8/9, сумма 1/9 → 1 и −8/9.

Корни t = −8/9 и t = 1 закрашены (≥). Парабола ветвями вверх, поэтому ≥ 0 при t ≤ −8/9 и t ≥ 1. Условие t > 0 отсекает корень −8/9.

Пробная t = 0: (0+8/9)(0−1) = −8/9 < 0 → знак «−».

Возвращаемся к x. Основание 2 > 1, возрастает — снимаем основание степени.

t \geq 1 (1 = 2^{0})

2^{\frac{x}{x + 1}} \geq 2^{0}

\frac{x}{x + 1} \geq 0

Пробная x = −2: (−2)/(−1) = 2 > 0 → знак «+». Дробь ≥ 0 на «+»-интервалах.

x \in (- \infty; - 1) \cup [0; + \infty)