Задача 10150567 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{2^{2 x + 1} - 96 \cdot {0,5}^{2 x + 3} + 2}{x + 1} \leq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не равен нулю.

ОДЗ

x + 1 \neq 0 ⟺ x \neq - 1

шаг 2.Приводим числитель к 4ˣ

Заметим: 2²ˣ = (2²)ˣ = 4ˣ. Перепишем степени в числителе через 4ˣ.

2^{2 x + 1} = 2^{2 x} \cdot 2 = 2 \cdot 4^{x}

{0,5}^{2 x + 3} = {(\frac{1}{2})}^{2 x} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{4^{x}} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8 \cdot 4^{x}}

96 \cdot {0,5}^{2 x + 3} = \frac{96}{8 \cdot 4^{x}} = \frac{12}{4^{x}}

Использованы свойства степеней: aᴹ⁺ᴺ = aᴹ · aᴺ и a²ˣ = (a²)ˣ.

шаг 3.Замена t = 4ˣ

После замены числитель принимает новый вид. Замена t = 4ˣ, причём t > 0, так как показательная функция всегда положительна.

2 \cdot 4^{x} - \frac{12}{4^{x}} + 2

t = 4^{x}, t > 0

Числитель = 2 t - \frac{12}{t} + 2 = \frac{2 t^{2} + 2 t - 12}{t} = \frac{2 (t - 2) (t + 3)}{t}

Виета для t² + t − 6: произведение −6, сумма 1 → корни 2 и −3.

шаг 4.Метод интервалов в t

Обозначим числитель A = 2(t−2)(t+3)/t. Дробь A/(x+1) ≤ 0 только в двух случаях: числитель и знаменатель разных знаков. При этом x + 1 ≠ 0 по ОДЗ, поэтому знаменатель строго больше или строго меньше нуля:

\frac{A}{x + 1} \leq 0

\begin{matrix} Случай 1 & Случай 2 \\ {\begin{matrix} A \leq 0 \\ x + 1 > 0 \end{matrix} & {\begin{matrix} A \geq 0 \\ x + 1 < 0 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} \frac{2 (t - 2) (t + 3)}{t} \leq 0 \\ x + 1 > 0 \end{matrix} & {\begin{matrix} \frac{2 (t - 2) (t + 3)}{t} \geq 0 \\ x + 1 < 0 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} t \in (0; 2] \\ x > - 1 \end{matrix} & {\begin{matrix} t \in [2; + \infty) \\ x < - 1 \end{matrix} \end{matrix}

Пробная t = 1: 2(1−2)(1+3)/1 = −8 < 0 → знак «−». Выноска от нуля — условие замены t = 4ˣ > 0.

шаг 5.Обратная замена

Подставляем t = 4ˣ. Основание 4 > 1, возрастает — знак неравенства сохраняется. Условие 0 < 4ˣ выполнено автоматически, так как показательная функция всегда положительна.

\begin{matrix} {\begin{matrix} 0 < 4^{x} \leq 2 \\ x > - 1 \end{matrix} & {\begin{matrix} 4^{x} \geq 2 \\ x < - 1 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x \leq \frac{1}{2} \\ x > - 1 \end{matrix} & {\begin{matrix} x \geq \frac{1}{2} \\ x < - 1 \end{matrix} \\ x \in (- 1; \frac{1}{2}] & x \in ⌀ \end{matrix}

Случай 2 пуст: x ≥ 1/2 и x < −1 несовместимы.

ответ

x \in (- 1; \frac{1}{2}]