Задача 10150566 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

9^{x} + 2 \cdot 6^{x} - 3 \cdot 4^{x} > 0

шаг 1.Готовим к замене

ОДЗ — вся числовая прямая. 9ˣ = (3ˣ)², 6ˣ = 3ˣ·2ˣ, 4ˣ = (2ˣ)² — выражение однородное по 3ˣ и 2ˣ. Делим обе части на 4ˣ = (2ˣ)² > 0 (положительное, знак сохраняется) и переходим к замене t = (3/2)ˣ.

9^{x} = {(3^{x})}^{2}, 6^{x} = 3^{x} \cdot 2^{x}, 4^{x} = {(2^{x})}^{2}

{(3^{x})}^{2} + 2 \cdot 3^{x} \cdot 2^{x} - 3 \cdot {(2^{x})}^{2} > 0

{(\frac{3^{x}}{2^{x}})}^{2} + 2 \cdot \frac{3^{x}}{2^{x}} - 3 > 0

{({(\frac{3}{2})}^{x})}^{2} + 2 \cdot {(\frac{3}{2})}^{x} - 3 > 0

t = {(\frac{3}{2})}^{x}, t > 0

t^{2} + 2 t - 3 > 0

(t - 1) (t + 3) > 0

Виета: для t² + 2t − 3 сумма −2, произведение −3. У нас 1 + (−3) = −2 и 1·(−3) = −3 — оба сходятся.

шаг 2.Метод интервалов в t

Корни: t = −3 и t = 1 — выколоты (строгое >). Условие замены t > 0 отсекает (−∞; 0].

Пробная точка t = 0 на (−3; 1): (0 − 1)(0 + 3) = −3 < 0, значит знак «−».

шаг 3.Обратная замена

Из пересечения: (3/2)ˣ > 1. Основание степени 3/2 > 1, функция возрастает, — знак сохраняется.

{(\frac{3}{2})}^{x} > 1

{(\frac{3}{2})}^{x} > {(\frac{3}{2})}^{0}

x > 0

1 = (3/2)⁰ — показатель степени получается ровно 0.

ответ

x \in (0; + \infty)