Задача 10150558 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Приводим к степеням с основанием 2

Показательная функция определена при всех x, ОДЗ — вся числовая прямая. Чтобы применить группировку, разбиваем 65 = 64 + 1 = 2⁶ + 1. Тогда −65·2ˣ распадается на −2⁶·2ˣ − 2ˣ.

65 = 64 + 1 = 2^{6} + 1

4^{x + 2} = 4^{2} \cdot 4^{x} = 2^{4} \cdot {(2^{x})}^{2}

4 = 2^{2}

2^{4} \cdot {(2^{x})}^{2} - 2^{6} \cdot 2^{x} - 2^{x} + 2^{2} \leq 0

По свойствам показательной функции 2ᵃ⁺ᵇ = 2ᵃ · 2ᵇ.

шаг 2.Группируем и выносим общую скобку

Группируем первое слагаемое с третьим (общий множитель 2ˣ) и второе с четвёртым (общий множитель 2²). В обеих парах после выноса остаётся одинаковая скобка (2⁴·2ˣ − 1) — выносим её за общую скобку.

(2^{4} \cdot (2^{x})^{2} - 2^{x}) - (2^{6} \cdot 2^{x} - 2^{2}) \leq 0

2^{x} (2^{4} \cdot 2^{x} - 1) - 2^{2} (2^{4} \cdot 2^{x} - 1) \leq 0

(2^{4} \cdot 2^{x} - 1) (2^{x} - 2^{2}) \leq 0

шаг 3.Делаем замену

Положим t = 2ˣ. Тогда 2⁴·2ˣ = 16t, 2ˣ = t, 2² = 4 — каждый множитель становится линейным по t. Корни читаются прямо из множителей, дискриминант не нужен. Основание степени 2 > 1, функция 2ʸ возрастает, что обеспечивает однозначность корня у каждого множителя.

t = 2^{x}, t > 0

(16 t - 1) (t - 4) \leq 0

16 (t - \frac{1}{16}) (t - 4) \leq 0

Корни напрямую: 16t − 1 = 0 ⟹ t = 1/16; t − 4 = 0 ⟹ t = 4.

шаг 4.Метод интервалов в t

Корни числителя: t = 1/16 и t = 4 — закрашены (нестрогое ≤). Условие замены t > 0 уже выполнено — оба корня положительны.

Пробная точка t = 1 на интервале (1/16; 4): подставляем в 16(t − 1/16)(t − 4) и получаем 16·(1 − 1/16)(1 − 4) = 16·(15/16)·(−3) = 15·(−3) = −45 < 0, значит знак «−».

шаг 5.Обратная замена

Подставляем t = 2ˣ — получаем двойное неравенство 1/16 ≤ 2ˣ ≤ 4. Основание степени 2 > 1, функция возрастает, — снимаем основание степени со всех частей сразу, знак сохраняется.

\frac{1}{16} \leq 2^{x} \leq 4

2^{- 4} \leq 2^{x} \leq 2^{2}

- 4 \leq x \leq 2

Обе границы — степени двойки (1/16 = 2⁻⁴, 4 = 2²), поэтому показатели степени получаются целыми −4 и 2.

условие

шаг 1.Приводим к степеням с основанием 2

шаг 2.Группируем и выносим общую скобку

шаг 3.Делаем замену

шаг 4.Метод интервалов в t

шаг 5.Обратная замена

ответ