Задача 10150546 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

9^{x} - 2 \cdot 6^{x} - 3 \cdot 4^{x} \leq 0

шаг 1.Готовим к замене

ОДЗ — вся числовая прямая. 9ˣ = (3ˣ)², 6ˣ = 3ˣ·2ˣ, 4ˣ = (2ˣ)² — выражение однородное по 3ˣ и 2ˣ. Делим обе части на 4ˣ = (2ˣ)² > 0 (положительное, знак сохраняется) и переходим к замене t = (3/2)ˣ.

9^{x} = {(3^{x})}^{2}, 6^{x} = 3^{x} \cdot 2^{x}, 4^{x} = {(2^{x})}^{2}

{(3^{x})}^{2} - 2 \cdot 3^{x} \cdot 2^{x} - 3 \cdot {(2^{x})}^{2} \leq 0

{(\frac{3^{x}}{2^{x}})}^{2} - 2 \cdot \frac{3^{x}}{2^{x}} - 3 \leq 0

{({(\frac{3}{2})}^{x})}^{2} - 2 \cdot {(\frac{3}{2})}^{x} - 3 \leq 0

t = {(\frac{3}{2})}^{x}, t > 0

t^{2} - 2 t - 3 \leq 0

(t + 1) (t - 3) \leq 0

Виета: для t² − 2t − 3 сумма 2, произведение −3. У нас (−1) + 3 = 2 и (−1)·3 = −3 — оба сходятся.

шаг 2.Метод интервалов в t

Корни числителя: t = −1 и t = 3 — закрашены (нестрогое ≤). Условие замены t > 0 отсекает (−∞; 0].

Пробная точка t = 0 на (−1; 3): (0 + 1)(0 − 3) = 1·(−3) = −3 < 0, значит знак «−».

шаг 3.Обратная замена

Из пересечения: 0 < (3/2)ˣ ≤ 3. Левую часть «(3/2)ˣ > 0» отбрасываем — она выполнена при любом x (показательная функция всюду положительна). Основание степени 3/2 > 1, функция возрастает, — знак сохраняется.

{(\frac{3}{2})}^{x} \leq 3

x \leq \log_{\frac{3}{2}} 3

3 не является степенью числа 3/2, оставляем log₃₍₂₎3.

ответ

x \in (- \infty; \log_{\frac{3}{2}} 3]