условие
шаг 1.Приводим к одному основанию
ОДЗ — вся числовая прямая. Сводим обе степени к основанию 5: 25 = 5², поэтому 25^{x²−2x+10} = 5^{2(x²−2x+10)} = 5^{2x²−4x+20}. 0,2 = 1/5 = 5⁻¹, поэтому 0,2^{2x²−4x−80} = 5^{−(2x²−4x−80)} = 5^{−2x²+4x+80}.
(a^p)^q = a^(pq); (1/a)^p = a^(−p). После переноса второго слагаемого в правую часть получаем сравнение степеней с одинаковым основанием 5.
шаг 2.Снимаем основание степени
Основание степени 5 > 1, функция 5ᵗ возрастает,Показательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
поэтому при сравнении степеней с одинаковым основанием знак неравенства сохраняется — переходим к показателям степени.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Виета для x² − 2x − 15: сумма 2, произведение −15 → корни −3 и 5; (−3) + 5 = 2 и (−3)·5 = −15 — сходится.
шаг 3.Метод интервалов
Корни x = −3 и x = 5 закрашены (нестрогое ≤). Ветви параболы вверх — выражение ≤ 0 между корнями.
Пробная точка x = 0 на (−3; 5): 0 + 0 − 15 = −15 < 0, знак «−».