Задача 10150523 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Делаем замену

Показательная функция определена при всех x, ОДЗ — вся числовая прямая. Замечаем, что 2⁻ˣ = 1/2ˣ, и делаем стандартную замену t = 2ˣ.

2^{- x} = \frac{1}{2^{x}}

t = 2^{x}, t > 0

t + \frac{32}{t} \geq 33

Функция 2ˣ строго положительна на всей прямой, поэтому замена сразу даёт ограничение t > 0.

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё в одну сторону и приводим к общему знаменателю t. В числителе квадратный трёхчлен раскладываем устно по Виета: произведение 32, сумма 33 → корни 1 и 32.

t + \frac{32}{t} - 33 \geq 0

\frac{t^{2} - 33 t + 32}{t} \geq 0

\frac{(t - 1) (t - 32)}{t} \geq 0

t² − 33t + 32 = (t − 1)(t − 32) (Виета: произведение 32, сумма 33 → 1 и 32).

шаг 3.Метод интервалов в t

Корни числителя: t = 1 и t = 32 — закрашены (нестрогое ≥). Точки разрыва знаменателя: 0 — выколота. На (−∞; 0) дробь отрицательна и в ≥ 0 не входит — условие замены t > 0 ничего нового не отсекает.

Пробная точка t = 2 на интервале (1; 32): подставляем в (t − 1)(t − 32)/t и получаем (2 − 1)(2 − 32)/2 = 1·(−30)/2 = −15 < 0, значит знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются. Через выколотую t = 0 знак тоже меняется.

шаг 4.Обратная замена

Подставляем t = 2ˣ в каждый случай отдельно. Основание степени 2 > 1, функция возрастает, — знак неравенства сохраняется.

Нижнюю границу 2ˣ > 0 в случае (0; 1] опускаем: она верна для любого x, реально работает только сравнение с 1 = 2⁰. Случаи связаны через ИЛИ — на нижней оси объединяем.

t \in (0; 1] : 0 < 2^{x} \leq 1

2^{x} \leq 2^{0}

x \leq 0

t \in [32; + \infty) : 2^{x} \geq 32

2^{x} \geq 2^{5}

x \geq 5

Точки x = 0 и x = 5 закрашены — границы обоих интервалов входят в ответ.