условие
шаг 1.Готовим к замене
ОДЗ — вся числовая прямая. 25ˣ = (5ˣ)², 20ˣ = 5ˣ·4ˣ, 16ˣ = (4ˣ)² — выражение однородное по 5ˣ и 4ˣ. Делим обе части на 16ˣ = (4ˣ)² > 0 (положительное, знак сохраняется) и переходим к замене t = (5/4)ˣ.
Виета: для t² − t − 2 сумма 1, произведение −2. У нас (−1) + 2 = 1 и (−1)·2 = −2 — оба сходятся.
шаг 2.Метод интервалов в t
Корни числителя: t = −1 и t = 2 — закрашены (нестрогое ≤). Условие замены t > 0 отсекает (−∞; 0].
Пробная точка t = 0 на (−1; 2): (0 + 1)(0 − 2) = 1·(−2) = −2 < 0, значит знак «−».
шаг 3.Обратная замена
Из пересечения: 0 < (5/4)ˣ ≤ 2. Левую часть «(5/4)ˣ > 0» отбрасываем — она выполнена при любом x (показательная функция всюду положительна). Основание степени 5/4 > 1, функция возрастает,Показательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— знак сохраняется.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
2 не является степенью числа 5/4, оставляем log₅₍₄₎2.