Задача 10150518 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

5^{x} + 5^{- x} \geq \frac{17}{4}

шаг 1.Делаем замену

ОДЗ — вся числовая прямая. 5⁻ˣ = 1/5ˣ. Замена t = 5ˣ.

5^{- x} = \frac{1}{5^{x}}

t = 5^{x}, t > 0

t + \frac{1}{t} \geq \frac{17}{4}

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю 4t.

\frac{4 t^{2} - 17 t + 4}{4 t} \geq 0

\frac{4 (t - \frac{1}{4}) (t - 4)}{4 t} \geq 0

\frac{(t - \frac{1}{4}) (t - 4)}{t} \geq 0

Виета: для нормированного t² − (17/4)t + 1 сумма корней 17/4, произведение 1. У нас 1/4 + 4 = 17/4 и (1/4)·4 = 1 — оба сходятся, корни 1/4 и 4. Постоянный множитель 4 в числителе и знаменателе сокращается — он положительный, знак дроби не меняет.

шаг 3.Метод интервалов в t

Корни числителя: t = 1/4 и t = 4 — закрашены (нестрогое ≥). Точка разрыва знаменателя: t = 0 — выколота. Условие замены t > 0 отсекает (−∞; 0].

Пробная точка t = 1 на (1/4; 4): (1 − 1/4)(1 − 4)/1 = (3/4)·(−3) = −9/4 < 0, знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются. Через выколотую t = 0 знак тоже меняется.

шаг 4.Обратная замена

Пересечение по t — два луча: 0 < 5ˣ ≤ 1/4 и 5ˣ ≥ 4 (левая часть «5ˣ > 0» автоматически выполнена). Основание степени 5 > 1, функция возрастает, — знак сохраняется.

1) 5^{x} \leq \frac{1}{4}

x \leq \log_{5} \frac{1}{4}

x \leq - \log_{5} 4

2) 5^{x} \geq 4

x \geq \log_{5} 4

log₅(1/4) = −log₅4 (свойство log_a(1/b) = −log_a b). Ни 1/4, ни 4 не являются степенью пятёрки — обе границы пишем через log₅4, симметрично относительно нуля.

ответ

x \in (- \infty; - \log_{5} 4] \cup [\log_{5} 4; + \infty)