Задача 10150517 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

4^{x} + 4^{- x} \geq \frac{10}{3}

шаг 1.Делаем замену

ОДЗ — вся числовая прямая. 4⁻ˣ = 1/4ˣ. Замена t = 4ˣ.

4^{- x} = \frac{1}{4^{x}}

t = 4^{x}, t > 0

t + \frac{1}{t} \geq \frac{10}{3}

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю 3t.

\frac{3 t^{2} - 10 t + 3}{3 t} \geq 0

\frac{3 (t - \frac{1}{3}) (t - 3)}{3 t} \geq 0

\frac{(t - \frac{1}{3}) (t - 3)}{t} \geq 0

Виета: для нормированного t² − (10/3)t + 1 сумма корней 10/3, произведение 1. У нас 1/3 + 3 = 10/3 и (1/3)·3 = 1 — оба сходятся, корни 1/3 и 3. Постоянный множитель 3 в числителе и знаменателе сокращается — он положительный, знак дроби не меняет.

шаг 3.Метод интервалов в t

Корни числителя: t = 1/3 и t = 3 — закрашены (нестрогое ≥). Точка разрыва знаменателя: t = 0 — выколота. Условие замены t > 0 отсекает (−∞; 0].

Пробная точка t = 1 на (1/3; 3): (1 − 1/3)(1 − 3)/1 = (2/3)·(−2) = −4/3 < 0, знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются. Через выколотую t = 0 знак тоже меняется.

шаг 4.Обратная замена

Пересечение по t — два луча: 0 < 4ˣ ≤ 1/3 и 4ˣ ≥ 3 (левая часть «4ˣ > 0» автоматически выполнена). Основание степени 4 > 1, функция возрастает, — знак сохраняется.

1) 4^{x} \leq \frac{1}{3}

x \leq \log_{4} \frac{1}{3}

x \leq - \log_{4} 3

2) 4^{x} \geq 3

x \geq \log_{4} 3

log₄(1/3) = −log₄3 (свойство log_a(1/b) = −log_a b). Ни 1/3, ни 3 не являются степенью четвёрки — обе границы пишем через log₄3, симметрично относительно нуля.

ответ

x \in (- \infty; - \log_{4} 3] \cup [\log_{4} 3; + \infty)