Задача 10150432 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\sqrt{{(x - 5)}^{2} - x^{2}} + \sqrt{x + 5} \geq \sqrt{4 x + 20}

(x − 5)² − x² = x² − 10x + 25 − x² = 25 − 10x. Также 4x + 20 = 4(x + 5), значит √(4x + 20) = 2√(x + 5).

{(x - 5)}^{2} - x^{2} = 25 - 10 x

4 x + 20 = 4 (x + 5), \sqrt{4 x + 20} = 2 \sqrt{x + 5}

\sqrt{25 - 10 x} + \sqrt{x + 5} \geq 2 \sqrt{x + 5}

Оба подкоренных неотрицательны.

ОДЗ

{\begin{matrix} 25 - 10 x \geq 0 \\ x + 5 \geq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \leq \frac{5}{2} \\ x \geq - 5 \end{matrix} ⟺ - 5 \leq x \leq \frac{5}{2}

Переносим √(x + 5) направо. Обе части неотрицательны на ОДЗ — возведение в квадрат сохраняет ≥.

\sqrt{25 - 10 x} \geq 2 \sqrt{x + 5} - \sqrt{x + 5}

\sqrt{25 - 10 x} \geq \sqrt{x + 5}

25 - 10 x \geq x + 5

20 \geq 11 x

x \leq \frac{20}{11}

ОДЗ: −5 ≤ x ≤ 5/2. Неравенство: x ≤ 20/11. 20/11 ≈ 1,82 < 5/2 = 2,5.

Проверка x = 20/11: 25 − 200/11 = 75/11; √(75/11) = √(25/11)·√3 = 5√3/√11. √(20/11 + 5) = √(75/11) — то же. Равенство ⟹ x = 20/11 закрашен.

x \in [- 5; \frac{20}{11}]