шаг 1.Область допустимых значений

Раскладываем x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) и 6x − x² = −x(x − 6). Подкоренное выражение неотрицательно, знаменатели не должны обращаться в ноль.

шаг 2.Упрощаем рациональный множитель

Заменяем (x − 4)/(3 − x) на −(x − 4)/(x − 3) и приводим к общему знаменателю (x − 3)(x − 4). В числителе появляется разность квадратов 1 − (x − 4)².

Сокращение (x − 3) допустимо: x = 3 уже исключено ОДЗ, поэтому делитель не равен нулю — корень не теряем.

шаг 3.Разбираем случаи √(…) = 0 и √(…) > 0

На ОДЗ √ ≥ 0, причём = 0 только на границах x = 0 и x = 6. При √ = 0 произведение равно нулю — нестрогое ≤ 0 выполнено. При √ > 0 делим на положительное √, остаётся (5 − x)/(x − 4) ≤ 0.

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: 0 (закрашена, граница ОДЗ — изолированная), 3 (выколота — сокращена, в ОДЗ), 4 (выколота — точка разрыва), 5 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≤), 6 (закрашена, граница ОДЗ — изолированная).

Пробная точка x = 2 на интервале (0; 3): (5 − 2)/(2 − 4) = 3/(−2) < 0, значит на (0; 3) знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются; через выколотую точку x = 3 (сокращена) знак НЕ меняется. Решением случая 2 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнем числителя 5; точки 3 и 4 остаются выколотыми. Плюс изолированные точки 0 и 6 из случая 1.