Задача 10150425 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Подкоренное выражение неотрицательно, знаменатели не должны обращаться в ноль.

ОДЗ

{\begin{matrix} 2 x - 3 \geq 0 \\ x \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{matrix} ⟺ x \geq 1,5

Условия x ≠ 0 и x ≠ −2 выполнены автоматически: на ОДЗ x ≥ 1,5 > 0.

шаг 2.Упрощаем второй множитель

На ОДЗ квадрат корня равен подкоренному выражению. Подставляем его и приводим вторую скобку к общему знаменателю x + 2.

{(\sqrt{- 3 + 2 x})}^{2} = 2 x - 3

\frac{9}{x + 2} - 4 + 2 x - 3 = \frac{9 + (2 x - 7) (x + 2)}{x + 2}

(2 x - 7) (x + 2) = 2 x^{2} - 3 x - 14

\frac{9 + 2 x^{2} - 3 x - 14}{x + 2} = \frac{2 x^{2} - 3 x - 5}{x + 2}

шаг 3.Раскладываем оба множителя

Первый множитель приводим к общему знаменателю x. Оба квадратных трёхчлена раскладываем через дискриминант.

2 x - 1 - \frac{10}{x} = \frac{2 x^{2} - x - 10}{x}

D = 1 + 80 = 81

x = \frac{1 \pm 9}{4} \begin{matrix} = \frac{5}{2} \\ = - 2 \end{matrix}

2 x^{2} - x - 10 = (2 x - 5) (x + 2)

2 x^{2} - 3 x - 5 = 0

D = 9 + 40 = 49

x = \frac{3 \pm 7}{4} \begin{matrix} = \frac{5}{2} \\ = - 1 \end{matrix}

2 x^{2} - 3 x - 5 = (2 x - 5) (x + 1)

В обоих разложениях двойка вносится в первую скобку: 2(x − 5/2) = 2x − 5.

шаг 4.Собираем произведение

Подставляем разложения. Множитель (x + 2) сокращается, и появляется полный квадрат (2x − 5)².

\frac{(2 x - 5) (x + 2)}{x} \cdot \frac{(2 x - 5) (x + 1)}{x + 2} \geq 0

\frac{{(2 x - 5)}^{2} (x + 1)}{x} \geq 0

Сокращение (x + 2) допустимо: на ОДЗ x ≥ 1,5, поэтому x + 2 ≥ 3,5 ≠ 0 — корень не теряем.

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Корень x = 2,5 имеет чётную кратность 2 → петелька, знак через него не меняется; он закрашен (нестрогое ≥). Корень числителя −1 закрашен, точка разрыва 0 выколота. На всей ОДЗ выражение неотрицательно.

Пробная точка x = 2 на интервале (0; 2,5): (2 · 2 − 5)² · (2 + 1)/2 = 1 · 3/2 = 1,5 > 0 — знак «+». ОДЗ целиком лежит в области знака «+», поэтому неравенство выполняется на всей ОДЗ. Проверка: x = 2 ⇒ первая скобка равна −2, вторая равна −0,75, произведение 1,5 ≥ 0 ✓. Проверка: x = 2,5 ⇒ обе скобки равны нулю, произведение равно нулю ✓.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Упрощаем второй множитель

шаг 3.Раскладываем оба множителя

шаг 4.Собираем произведение

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

ответ