шаг 1.Область допустимых значений

Подкоренное выражение неотрицательно, знаменатели не должны обращаться в ноль.

Условие x ≠ 0 выполнено автоматически: на ОДЗ x ≤ −1,5 < 0.

шаг 2.Упрощаем второй множитель

На ОДЗ квадрат корня равен подкоренному выражению. Подставляем его и приводим вторую скобку к общему знаменателю x + 2.

шаг 3.Раскладываем оба множителя

Первый множитель приводим к общему знаменателю x. Оба квадратных трёхчлена раскладываем через дискриминант.

В обоих разложениях двойка вносится в первую скобку: 2(x − 3/2) = 2x − 3.

шаг 4.Собираем произведение

Подставляем разложения. Множитель (x + 2) сокращается, и появляется полный квадрат (2x − 3)², который на ОДЗ строго положителен.

Сокращение (x + 2) допустимо: x = −2 уже исключено ОДЗ, поэтому делитель не равен нулю — корень не теряем. На оси точка −2 остаётся выколотой. На ОДЗ x ≤ −1,5, поэтому 2x − 3 ≤ −6 и квадрат строго положителен; умножение на −1 переворачивает знак.

шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Дробь (x + 6)/x неположительна между корнем числителя −6 и точкой разрыва 0. Пересекаем с ОДЗ x ≤ −1,5, x ≠ −2.

Пробная точка x = −1 на интервале (−6; 0): (−1 + 6)/(−1) = −5 < 0 — знак «−»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Проверка: x = −3 ⇒ первая скобка равна −3, вторая равна −27, произведение 81 ≥ 0 ✓. Проверка: x = −7 ⇒ произведение отрицательно — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.