шаг 1.Область допустимых значений

Подкоренное выражение неотрицательно, знаменатели не должны обращаться в ноль. Раскладываем −6x − x² = −x(x + 6) и x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).

Проверка по Виета: для x² + 7x + 12 сумма корней должна равняться −7, произведение — 12. У нас (−3) + (−4) = −7 и (−3) · (−4) = 12 — оба сходятся. Парабола −x(x + 6) ветвями вниз, поэтому она неотрицательна между корнями −6 и 0.

шаг 2.Упрощаем рациональный множитель

Приводим к общему знаменателю (x + 3)(x + 4). В числителе получается разность квадратов (x + 4)² − 1², после разложения которой сокращается множитель (x + 3).

Сокращение (x + 3) допустимо: x = −3 уже исключено ОДЗ, поэтому делитель не равен нулю — корень не теряем.

шаг 3.Разбираем два случая

На ОДЗ корень неотрицателен и обращается в ноль на границах x = −6 и x = 0. При нулевом корне произведение равно нулю и нестрогое неравенство выполняется. При положительном корне на него можно поделить — знак сохраняется.

шаг 4.Метод интервалов

Корень числителя x = −5 закрашен (нестрогое ≥), точка разрыва x = −4 выколота. Точка x = −3 выколота по ОДЗ, но знак через неё не меняется — множитель (x + 3) сократился. Границы ОДЗ −6 и 0 закрашены: там корень равен нулю.

Пробная точка x = −2 на интервале (−3; 0): (−2 + 5)/(−2 + 4) = 3/2 > 0 — знак «+»; через сокращённую точку −3 знак не меняется, через остальные корни чередуется. Знаки ставим только внутри ОДЗ — вне отрезка [−6; 0] выражение не определено. Проверка: x = −4,5 ⇒ (0,5)/(−0,5) · √6,75 < 0 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.