шаг 1.Область допустимых значений

Подкоренное выражение неотрицательно, знаменатели не должны обращаться в ноль. Раскладываем −7x − x² = −x(x + 7) и x² + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5).

Корни x² + 9x + 20 устно по Виета: произведение 20, сумма 9 → 4 и 5. −x(x + 7) ≥ 0 — это парабола вверх с корнями 0 и −7, обращена и сдвинута: ≥ 0 между корнями.

шаг 2.Упрощаем рациональный множитель

Общий знаменатель — (x + 4)(x + 5). В числителе появляется разность квадратов (x + 5)² − 1², которая раскладывается по формуле a² − b² = (a − b)(a + b). Затем сокращается множитель (x + 4).

Сокращение (x + 4) допустимо: x = −4 уже исключено ОДЗ, поэтому делитель не равен нулю — корень не теряем.

шаг 3.Разбираем случаи √(…) = 0 и √(…) > 0

На ОДЗ √ ≥ 0, причём = 0 только на границах x = 0 и x = −7. При √ = 0 произведение равно нулю — нестрогое ≥ 0 выполнено. При √ > 0 делим на положительное √, остаётся (x + 6)/(x + 5) ≥ 0.

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: −7 (закрашена, граница ОДЗ — изолированная), −6 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≥), −5 (выколота — точка разрыва), −4 (выколота — точка разрыва), 0 (закрашена, граница ОДЗ — изолированная). Анализ знака (x + 6)/(x + 5) только на (−7; 0) \ {−5, −4}.

Пробная точка x = −1 на интервале (−4; 0): (−1 + 6)/(−1 + 5) = 5/4 > 0, значит на (−4; 0) знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются. Решением случая 2 будут интервалы со знаком «+» вместе с корнем числителя −6; точки разрыва −5 и −4 остаются выколотыми. Плюс изолированные точки −7 и 0 из случая 1.