Задача 10150412 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\sqrt{7 - x} < \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 7}}{\sqrt{x - 1}}

шаг 1.Область допустимых значений

Подкоренные выражения неотрицательны, знаменатель √(x − 1) ≠ 0 ⟺ x > 1 (строго).

ОДЗ

{\begin{matrix} 7 - x \geq 0 \\ x - 1 > 0 \\ x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 7 \geq 0 \end{matrix}

у x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 7 :

производная 3 x^{2} - 12 x + 14 = 3 {(x - 2)}^{2} + 2 > 0

⟹ строго возрастает

при x = 1 : 1 - 6 + 14 - 7 = 2 > 0

⟹ x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 7 > 0 на x > 1

ОДЗ: 1 < x \leq 7

шаг 2.Умножаем на √(x − 1) > 0

Обе части на √(x − 1) > 0 — направление неравенства сохраняется. Объединяем корни в произведения.

\sqrt{7 - x} \cdot \sqrt{x - 1} < \sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 7}

\sqrt{(7 - x) (x - 1)} < \sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 7}

шаг 3.Возводим в квадрат

Обе части неотрицательны на ОДЗ, возведение в квадрат сохраняет строгое <.

(7 - x) (x - 1) < x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 7

7 x - 7 - x^{2} + x < x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 7

- x^{2} + 8 x - 7 < x^{3} - 6 x^{2} + 14 x - 7

0 < x^{3} - 5 x^{2} + 6 x

0 < x (x^{2} - 5 x + 6)

0 < x (x - 2) (x - 3)

Корни x² − 5x + 6 устно по Виета: произведение 6, сумма 5 → 2 и 3.

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: 0, 2, 3 (все простые). Знак x(x − 2)(x − 3): пробная точка x = 10 даёт 10·8·7 > 0, значит на (3; +∞) знак «+». Чередуем.

На ОДЗ (1; 7]: x(x − 2)(x − 3) > 0 в (1; 2) и (3; 7]. Граничный x = 7: LHS = √0 = 0, RHS = √(140/6) > 0 ⟹ 0 < RHS ✓. Точки x = 2 и x = 3 дают равенство (строгое < нарушено), исключаем.

ответ

x \in (1; 2) \cup (3; 7]