шаг 1.Область допустимых значений

Подкоренное выражение неотрицательно, знаменатели не должны обращаться в ноль.

шаг 2.Упрощаем (√(1 − 2x))²

На ОДЗ (√(1 − 2x))² = 1 − 2x — квадрат корня равен подкоренному выражению. Подставляем во второй множитель и приводим к общему знаменателю (x + 1).

шаг 3.Раскладываем оба множителя

Первый множитель 2x − 1 − 3/x = (2x² − x − 3)/x. Раскладываем оба квадратных трёхчлена через дискриминант.

шаг 4.Сокращаем и применяем метод интервалов

Подставляем разложения. Общий множитель (x + 1) сокращается, и появляется (2x − 3)². На ОДЗ x ≤ 1/2 множитель (2x − 3)² ≥ 1 > 0, поэтому знак произведения определяется множителями −(x − 2) и x.

Сокращение (x + 1) допустимо: x = −1 уже исключено ОДЗ, поэтому делитель не равен нулю — корень не теряем. Деление на положительный (2x − 3)² направление неравенства сохраняет; деление на −1 — переворачивает.

шаг 5.Решение и пересечение с ОДЗ

Условие (x − 2)/x ≤ 0: парабола x(x − 2) — между нулями отрицательна, значит дробь ≤ 0 на 0 < x ≤ 2 (граничный 2 закрашен, 0 выколот). Пересекаем с ОДЗ x ≤ 1/2, x ≠ 0, x ≠ −1: остаётся 0 < x ≤ 1/2.

Граница x = 1/2 принадлежит ОДЗ и удовлетворяет (x − 2)/x ≤ 0 (значение (−3/2)/(1/2) = −3 < 0), поэтому в ответ входит. Точка x = −1 в ОДЗ выколота, но левее x = 0 неравенство (x − 2)/x > 0 — этот промежуток в ответ не входит.