шаг 1.Область допустимых значений

Подкоренное выражение не должно быть отрицательным.

шаг 2.Делаем замену

Раскрываем (x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2 — узнаём в нём то же подвыражение, что под корнем. Полагаем t = x² + 3x − 6.

шаг 3.Анализ знака правой части

Левая часть 4√t ≥ 0. Если правая часть ≤ 0 (т.е. t ≥ 12), строгое неравенство «неотрицательное < неположительное» невозможно. Значит ограничиваемся случаем t < 12, где обе части неотрицательны и допустимо возведение в квадрат.

шаг 4.Возводим в квадрат

Получаем квадратное неравенство относительно t. Раскладываем устно по теореме Виета.

Корни t² − 40t + 144 устно по Виета: произведение 144, сумма 40 → 4 и 36. Парабола ветвями вверх — положительна вне корней.

шаг 5.Пересечение и обратная замена

С учётом ограничений (0 ≤ t < 12 из предыдущего шага и (t < 4 или t > 36) из этого) остаётся 0 ≤ t < 4. Возвращаемся к x: 0 ≤ x² + 3x − 6 < 4, то есть система через И.

Корни x² + 3x − 10 устно по Виета: произведение −10, сумма −3 → −5 и 2.

шаг 6.Метод интервалов

Условие x² + 3x − 6 ≥ 0: парабола ветвями вверх, корни (−3 ± √33)/2 — положительна вне корней. Условие (x + 5)(x − 2) < 0 — парабола ветвями вверх, корни −5 и 2 — отрицательна между корнями. Пересекаем.

Численные приближения: √33 ≈ 5,74; (−3 − √33)/2 ≈ −4,37; (−3 + √33)/2 ≈ 1,37. На пересечении остаются два полузакрытых интервала: «+» из первой оси (вне корней) И «−» из второй (между −5 и 2).