шаг 1.Область допустимых значений

Подкоренное выражение неотрицательно, знаменатели не должны обращаться в ноль. Раскладываем 6x − x² − 5 = −(x − 1)(x − 5) (Виета: произведение 5, сумма 6 → 1 и 5; общий минус из −x² + 6x − 5).

(x − 1)(x − 5) — парабола ветвями вверх; неотрицательность −(x − 1)(x − 5) равносильна (x − 1)(x − 5) ≤ 0, т.е. отрезку между корнями.

шаг 2.Упрощаем рациональный множитель

Общий знаменатель — (x − 4)(x − 2). Раскрываем числитель и приводим подобные. Старшая степень x² сокращается.

шаг 3.Разбираем случаи √(…) = 0 и √(…) > 0

На ОДЗ √(6x − x² − 5) ≥ 0, причём обращается в ноль только в концах отрезка x = 1 и x = 5 (там подкоренное равно нулю). Если √ = 0, произведение равно нулю — нестрогое ≥ 0 выполнено. Если √ > 0 — делим обе части на положительное √, направление сохраняется, остаётся неравенство для рационального множителя.

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: 1 (закрашена, граница ОДЗ — изолированная точка из случая 1), 2 (выколота — точка разрыва), 3 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≥), 4 (выколота — точка разрыва), 5 (закрашена, граница ОДЗ — изолированная точка из случая 1). Анализируем знак рационального множителя только на (1; 5) \ {2, 4}.

Пробная точка x = 2,5 на интервале (2; 3): (2,5 − 3)/((2,5 − 4)(2,5 − 2)) = (−0,5)/((−1,5)·0,5) = 1/1,5 > 0, значит на (2; 3) знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются. Решением случая 2 будут интервалы со знаком «+» вместе с корнем числителя 3; точки разрыва 2 и 4 остаются выколотыми. Плюс изолированные точки x = 1 и x = 5 из случая 1.