шаг 1.Область допустимых значений

Подкоренное выражение не должно быть отрицательным.

шаг 2.Разбираем два случая по знаку правой части

Стандартная схема для √f(x) ≥ g(x): отдельно случай g < 0 (тогда неравенство выполнено автоматически, ведь √ ≥ 0) и случай g ≥ 0 (оба не отрицательны, можно возводить в квадрат).

шаг 3.Случай 1: x < 0 — пусто

При x < 0 все четыре слагаемых подкоренного выражения отрицательны: x³ < 0, −2x² < 0 (квадрат положителен, перед ним «−»), 4x < 0, −2 < 0. Сумма четырёх отрицательных не может быть ≥ 0 — ОДЗ нарушено. Этот случай не даёт решений.

шаг 4.Случай 2: x ≥ 0 — возводим в квадрат

Оба слагаемых неотрицательны, можно возвести в квадрат. Затем переносим всё влево и пробуем подобрать рациональный корень получившегося кубического выражения.

Подстановка x = 1 даёт ноль — значит (x − 1) множитель. Деление столбиком на (x − 1) даёт частное x² − 2x + 2 = (x − 1)² + 1, строго положительное при любом x.

шаг 5.Проверка ОДЗ и итог

При x ≥ 1 подкоренное выражение тоже неотрицательно: при x = 1 это 1 − 2 + 4 − 2 = 1 > 0, а производная 3x² − 4x + 4 = 3(x − 2/3)² + 8/3 положительна, значит выражение возрастающее и при x ≥ 1 строго ≥ 1 > 0. ОДЗ выполнено.

Проверка x = 1: √(1 − 2 + 4 − 2) = √1 = 1 ≥ 1 ✓. Проверка x = 2: √(8 − 8 + 8 − 2) = √6 ≈ 2,45 ≥ 2 ✓.