условие

3x−|x+8|−|1−x|≤−6

шаг 1.Раскрытие модулей по интервалам

Каждый модуль раскрывается в зависимости от знака выражения внутри: точка x = −8 — граница (x + 8); точка x = 1 — граница (1 − x). Эти границы делят числовую ось на три интервала.

|x+8|={−(x+8),x<−8x+8,x≥−8
|1−x|={1−x,x≤1x−1,x>1
x<−8
x≥−8
|x+8|8−
−∞
+∞
x
x≤1
x>1
|1-x\mkern2mu|1
−∞
+∞
x
x<−8
−8≤x<1
x≥1
разбиение8−1
−∞
+∞
x

шаг 2.Случай 1: x < −8

Подставляем раскрытие, упрощаем и пересекаем с условием случая.

|x+8|=−(x+8),|1−x|=1−x
3x−(−(x+8))−(1−x)≤−6
3x+x+8−1+x≤−6
5x+7≤−6
x≤−135
неравенство
−135
−∞
+∞
x
случай8−
−∞
+∞
x
пересечение8−
−∞
+∞
x

−13/5 = −2,6 > −8, поэтому ограничение x ≤ −13/5 на интервале x < −8 выполнено автоматически.

шаг 3.Случай 2: −8 ≤ x < 1

Подставляем раскрытие, упрощаем и пересекаем с условием случая.

|x+8|=x+8,|1−x|=1−x
3x−(x+8)−(1−x)≤−6
3x−x−8−1+x≤−6
3x−9≤−6
x≤1
неравенство1
−∞
+∞
x
случай8−1
−∞
+∞
x
пересечение8−1
−∞
+∞
x

шаг 4.Случай 3: x ≥ 1

Подставляем раскрытие, упрощаем и пересекаем с условием случая.

|x+8|=x+8,|1−x|=x−1
3x−(x+8)−(x−1)≤−6
x−7≤−6
x≤1
неравенство1
−∞
+∞
x
случай1
−∞
+∞
x
пересечение1
−∞
+∞
x

шаг 5.Объединение случаев

Случаи 1 и 2 склеиваются: (−∞; −8) ∪ [−8; 1) = (−∞; 1). Случай 3 добавляет точку {1}. Итог: (−∞; 1].

8−1
−∞
+∞
x

ответ

x∈(−∞;1]