Задача 10150316 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

| 2 x - 5 |^{x + 1} + | 2 x - 5 |^{- x - 1} \leq 2

шаг 1.Замена переменной

Полагаем t = |2x − 5|^{x+1}. Тогда второе слагаемое — это 1/t, и слева стоит сумма t + 1/t. Основание |2x − 5| положительно, поэтому t > 0, и по неравенству Коши такая сумма не бывает меньше двух. Значит нестрогое «≤ 2» превращается в равенство.

t = | 2 x - 5 |^{x + 1}, | 2 x - 5 |^{- x - 1} = \frac{1}{t}

t + \frac{1}{t} \leq 2

t > 0 ⟹ t + \frac{1}{t} \geq 2

t + \frac{1}{t} \leq 2 ⟺ t = 1

Основание степени обязано быть положительным: |2x − 5| > 0, то есть x ≠ 2,5. Тогда и t > 0. Равенство t + 1/t = 2 достигается ровно при t = 1.

шаг 2.Когда степень равна единице

Степень A^B при положительном A равна единице в двух случаях: либо само основание равно единице, либо показатель степени равен нулю.

| 2 x - 5 |^{x + 1} = 1 ⟺ [\begin{matrix} | 2 x - 5 | = 1 \\ x + 1 = 0 \end{matrix}

Вариант «основание равно −1» невозможен: модуль неотрицателен. Во втором случае нужно отдельно убедиться, что основание не равно нулю.

шаг 3.Решаем каждое условие

Первое условие — обычное уравнение с модулем, второе даёт единственную точку с проверкой основания.

1) | 2 x - 5 | = 1

2 x - 5 = \pm 1

x = 3 или x = 2

2) x + 1 = 0

x = - 1

| 2 \cdot (- 1) - 5 | = 7 \neq 0

Все три найденные точки лежат в ОДЗ: ни в одной из них 2x − 5 не обращается в ноль.

шаг 4.Итог

Решение — три изолированные точки.

Проверка: x = 2 ⇒ |2 · 2 − 5| = 1, значит 1³ + 1⁻³ = 2 ✓. Проверка: x = −1 ⇒ показатель степени равен нулю, значит 7⁰ + 7⁰ = 2 ✓. Проверка: x = 0 ⇒ 5¹ + 5⁻¹ = 5,2 > 2 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.

ответ

x \in {- 1; 2; 3}

$| 2 x - 6 |^{x + 1} + | 2 x - 6 |^{- x - 1} \leq 2$