условие

|3x+1−9x|+|9x−5⋅3x+6|≤6−2⋅3x

шаг 1.Замена на t

3^(x+1) = 3·3^x = 3t, 9^x = (3^x)² = t².

t=3x,t>0
|3t−t2|+|t2−5t+6|≤6−2t
t|3−t|+|(t−2)(t−3)|≤2(3−t)

t² − 5t + 6 = (t − 2)(t − 3) устно по Виета. 6 − 2t = 2(3 − t).

шаг 2.Ограничение на t

Левая часть ≥ 0. Значит правая 2(3 − t) ≥ 0, то есть t ≤ 3.

t≤3

шаг 3.Случай A: 0 < t ≤ 2

На (0; 2] оба модуля раскрываются без переворота знака: |3 − t| = 3 − t, |(t − 2)(t − 3)| = (2 − t)(3 − t).

t(3−t)+(2−t)(3−t)≤2(3−t)
(3−t)(t+(2−t))≤2(3−t)
2(3−t)≤2(3−t)
выполнено при любом 0<t≤2

шаг 4.Случай B: 2 < t < 3

|(t − 2)(t − 3)| = (t − 2)(3 − t) (поменялся знак внутреннего множителя (t − 2)).

t(3−t)+(t−2)(3−t)≤2(3−t)
(3−t)(t+(t−2))≤2(3−t)
(3−t)(2t−2)≤2(3−t)
делим на (3−t)>0:2t−2≤2
t≤2
неравенство2
−∞
+∞
t
случай23
−∞
+∞
t
t∈⌀
пересечение
−∞
+∞
t

шаг 5.Случай C: t = 3

Подставляем напрямую.

|9−9|+|9−15+6|=0+0=0
6−6=0,0≤0

шаг 6.Обратная замена

Объединяем: 0 < t ≤ 2 или t = 3 — но также из шага 2 t ≤ 3, поэтому в итоге 0 < t ≤ 3. Возвращаемся к x: 3^x ≤ 3 ⟺ x ≤ 1.

0<t≤3⟺3x≤3⟺x≤1
1
−∞
+∞
x

ответ

x∈(−∞;1]