шаг 1.Область допустимых значений

В степенях с показателем −1 спрятаны знаменатели: (−x + 1)⁻¹ = 1/(1 − x), (−x + 4)⁻¹ = 1/(4 − x). Раскладываем знаменатель x² − 5x + 4 на множители и выписываем ОДЗ — знаменатели ≠ 0.

Корни x² − 5x + 4 устно по теореме Виета: сумма корней равна 5, произведение 4 → 1 и 4.

шаг 2.Упрощаем левую часть

Приводим к общему знаменателю.

шаг 3.Сокращаем общий знаменатель

Знаменатель (x − 1)²(x − 4)² на ОДЗ — произведение двух положительных квадратов, всегда > 0. Умножаем обе части на него — направление неравенства сохраняется. Затем раскрываем модуль по правилу |A| ≥ a ⟺ A ≥ a или A ≤ −a.

Точки x = 1 и x = 4 уже исключены ОДЗ как нули знаменателя, поэтому умножение на (x − 1)²(x − 4)² корней не теряет.

шаг 4.Случай 1: x² + 6x ≥ 9

Решаем первую ветку совокупности.

Парабола ветвями вверх с корнями −3 ± 3√2 — вне корней положительна, между — отрицательна.

шаг 5.Случай 2: x² + 6x ≤ −9

Решаем вторую ветку. Полный квадрат всегда неотрицателен, поэтому ≤ 0 даёт единственное решение.

x² + 6x + 9 = (x + 3)² по формуле (a + b)². Квадрат ≥ 0 всегда, равенство нулю — только при x = −3 (изолированное решение).

шаг 6.Итог

Объединяем результаты двух случаев и пересекаем с ОДЗ. −3 + 3√2 ≈ 1,24; точка x = 4 ∈ [−3 + 3√2; +∞), её выкалываем; x = 1 лежит в промежутке между интервалами, на ответ не влияет.