условие
шаг 1.Область допустимых значений
Раскладываем правый знаменатель: 14 − 9x + x² = x² − 9x + 14 = (x − 2)(x − 7) (Виета: произведение 14, сумма 9 → 2 и 7). Знаменатели не должны обращаться в ноль.
ОДЗ
шаг 2.Сворачиваем полный квадрат
В числителе правой части — полный квадрат: 9 − 30x + 25x² = (5x)² − 2·5x·3 + 3² = (5x − 3)² (формула a² − 2ab + b² = (a − b)²). Тот же квадрат уже стоит в числителе левой части.
шаг 3.Сводим к одной дроби
Переносим правую часть налево и приводим к общему знаменателю (x − 2)(x − 7). Первое слагаемое домножаем на (x − 7). Выносим общий множитель (5x − 3)² за скобки.
шаг 4.Метод интервалов
Корни числителя: 3/5 (чётная кратность 2 → петелька, знак через точку не меняется); закрашена, в ответе появится изолированной точкой (нестрогое ≥). Корень числителя 8 — закрашен. В знаменателе: 2, 7 — точки разрыва.
Пробная точка x = 10: (5·10 − 3)²(10 − 8)/((10 − 2)(10 − 7)) = 47²·2/(8·3) > 0, значит на (8; +∞) знак «+». Корень 3/5 чётной кратности — знак через эту точку не меняется (петелька). Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+» вместе с самим корнем 3/5 (изолированная точка, в которой числитель обращается в ноль) и корнем числителя 8; точки разрыва 2 и 7 остаются выколотыми.