Задача 10150213 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

x^{3} + 8 x^{2} + \frac{50 x^{2} + x - 7}{x - 7} \leq 1

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

x - 7 \neq 0 ⟺ x \neq 7

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю (x − 7).

x^{3} + 8 x^{2} + \frac{50 x^{2} + x - 7}{x - 7} - 1 \leq 0

\frac{(x^{3} + 8 x^{2}) (x - 7) + (50 x^{2} + x - 7) - (x - 7)}{x - 7} \leq 0

шаг 3.Раскрываем числитель

Раскрываем единственное произведение и приводим подобные: линейные слагаемые взаимно уничтожаются. Затем выносим x² и раскладываем оставшийся квадратный трёхчлен по Виета — произведение −6, сумма 1, корни 2 и −3.

(x^{3} + 8 x^{2}) (x - 7) + (50 x^{2} + x - 7) - (x - 7) =

= x^{4} - 7 x^{3} + 8 x^{3} - 56 x^{2} + 50 x^{2} + x - 7 - x + 7 =

= x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}

x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} = x^{2} (x^{2} + x - 6) = x^{2} (x - 2) (x + 3)

\frac{x^{2} (x - 2) (x + 3)}{x - 7} \leq 0

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: −3 (закрашена), 0 (закрашена — корень кратности 2, петелька), 2 (закрашена), 7 (выколота — точка разрыва).

Пробная точка x = 10: 100·8·13/3 > 0, значит на (7; +∞) знак «+». Корень 0 чётной кратности — знак через эту точку не меняется (петелька). Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнями числителя −3, 2 и точкой 0.

ответ

x \in (- \infty; - 3] \cup {0} \cup [2; 7)