Задача 10150212 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

x^{3} + 6 x^{2} + \frac{21 x^{2} + 3 x - 12}{x - 4} \leq 3

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

x - 4 \neq 0 ⟺ x \neq 4

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю (x − 4).

x^{3} + 6 x^{2} + \frac{21 x^{2} + 3 x - 12}{x - 4} - 3 \leq 0

\frac{(x^{3} + 6 x^{2}) (x - 4) + (21 x^{2} + 3 x - 12) - 3 (x - 4)}{x - 4} \leq 0

шаг 3.Раскрываем числитель

Раскрываем единственное произведение и приводим подобные: линейные слагаемые взаимно уничтожаются. Затем выносим x² и раскладываем оставшийся квадратный трёхчлен по Виета — произведение −3, сумма 2, корни 1 и −3.

(x^{3} + 6 x^{2}) (x - 4) + (21 x^{2} + 3 x - 12) - 3 (x - 4) =

= x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 21 x^{2} + 3 x - 12 - 3 x + 12 =

= x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}

x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} = x^{2} (x^{2} + 2 x - 3) = x^{2} (x - 1) (x + 3)

\frac{x^{2} (x - 1) (x + 3)}{x - 4} \leq 0

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: −3 (закрашена), 0 (закрашена — корень кратности 2, петелька), 1 (закрашена), 4 (выколота — точка разрыва).

Пробная точка x = 10: 100·9·13/6 > 0, значит на (4; +∞) знак «+». Корень 0 чётной кратности — знак через эту точку не меняется (петелька). Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнями числителя −3, 1 и точкой 0.

ответ

x \in (- \infty; - 3] \cup {0} \cup [1; 4)