Задача 10150210 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

x^{3} + 6 x^{2} + \frac{28 x^{2} + 2 x - 10}{x - 5} \leq 2

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не должен обращаться в ноль.

ОДЗ

x - 5 \neq 0 ⟺ x \neq 5

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю (x − 5).

x^{3} + 6 x^{2} + \frac{28 x^{2} + 2 x - 10}{x - 5} - 2 \leq 0

\frac{(x^{3} + 6 x^{2}) (x - 5) + (28 x^{2} + 2 x - 10) - 2 (x - 5)}{x - 5} \leq 0

шаг 3.Раскрываем числитель

Раскрываем единственное произведение и приводим подобные: линейные слагаемые взаимно уничтожаются. Затем выносим x² и раскладываем оставшийся квадратный трёхчлен по Виета — произведение −2, сумма 1, корни 1 и −2.

(x^{3} + 6 x^{2}) (x - 5) + (28 x^{2} + 2 x - 10) - 2 (x - 5) =

= x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{3} - 30 x^{2} + 28 x^{2} + 2 x - 10 - 2 x + 10 =

= x^{4} + x^{3} - 2 x^{2}

x^{4} + x^{3} - 2 x^{2} = x^{2} (x^{2} + x - 2) = x^{2} (x - 1) (x + 2)

\frac{x^{2} (x - 1) (x + 2)}{x - 5} \leq 0

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: −2 (закрашена), 0 (закрашена — корень кратности 2, петелька), 1 (закрашена), 5 (выколота — точка разрыва).

Пробная точка x = 10: 100·9·12/5 > 0, значит на (5; +∞) знак «+». Корень 0 чётной кратности — знак через эту точку не меняется (петелька). Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнями числителя −2, 1 и точкой 0.

ответ

x \in (- \infty; - 2] \cup {0} \cup [1; 5)