условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель не должен обращаться в ноль.
ОДЗ
шаг 2.Раскрываем правую часть и сводим к одной дроби
Сначала раскрываем (3x + 1)² − 19. Затем переносим всё влево и приводим к общему знаменателю (x − 3).
шаг 3.Раскрываем числитель
Раскрываем первое произведение, затем собираем числитель и приводим подобные поразрядно. Старшие x³, x и свободный член взаимно уничтожаются.
шаг 4.Раскладываем по формуле разности квадратов
Раскладываем разность квадратов по формуле a² − b² = (a − b)(a + b).
Проверяем: (9√2/2)² = 81·2/4 = 162/4 = 81/2 = 40,5 — сходится.
шаг 5.Метод интервалов
Корни в порядке возрастания: −9√2/2 (закрашена), 0 (закрашена — корень кратности 2, петелька), 3 (выколота — точка разрыва), 9√2/2 (закрашена).
Численное приближение: 9√2/2 ≈ 6,36.
Пробная точка x = 10: 100·(100 − 40,5)/(10 − 3) > 0, значит на (9√2/2; +∞) знак «+». Корень 0 чётной кратности — знак через эту точку не меняется (петелька). Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
Решением ≤ 0 будут интервалы со знаком «−» вместе с корнями числителя ±9√2/2 и изолированной точкой 0 (где числитель равен нулю в окружении плюсов); точка разрыва 3 остаётся выколотой.