условие
шаг 1.Область допустимых значений
Раскладываем x² + x − 12 = (x − 3)(x + 4) (Виета: произведение −12, сумма −1 → −4 и 3).
ОДЗ
шаг 2.Сводим к одной дроби
Переносим (x − 2) влево и приводим к общему знаменателю (x − 3)(x + 4).
шаг 3.Раскрываем числитель
Раскрываем (x − 2)(x − 3)(x + 4) через свёрнутое в шаге 1 (x − 3)(x + 4) = x² + x − 12 и подставляем в числитель. Старшие x³ взаимно уничтожаются — остаётся квадратный трёхчлен, факторизуем.
Корни x² + 2x − 8 устно по теореме Виета: произведение −8, сумма −2 → −4 и 2.
шаг 4.Метод интервалов
Корни числителя: 2 — закрашена (нестрогое ≥). Точки разрыва знаменателя: 3 — выколота. Точка x = −4 — четный корень → петелька (выколота по ОДЗ), знак через неё не меняется.
Пробная точка x = 10 на интервале (3; +∞): подставляем в 7(x + 4)(x − 2)/((x − 3)(x + 4)) и получаем 7·14·8/(7·14) = 8 > 0, значит знак «+». Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
Через корни 2 и 3 знаки чередуются; через петельку −4 знак НЕ меняется. Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+» вместе с корнем числителя 2; точки −4 и 3 остаются выколотыми.