условие
шаг 1.Область допустимых значений
Раскладываем оба знаменателя устно по теореме Виета.
ОДЗ
Корни x² + 13x + 40: произведение 40, сумма −13 → −5 и −8. Корни x² + 15x + 56: произведение 56, сумма −15 → −7 и −8.
шаг 2.Сводим к одной дроби
Переносим правую часть налево и приводим к общему знаменателю (x + 5)(x + 7)(x + 8). Первое слагаемое домножаем на (x + 7), второе — на (x + 5).
шаг 3.Метод интервалов
Корни числителя: −8. В знаменателе: −8, −7, −5 — точки разрыва. Точка x = −8 — корень чётной кратности → выколота по ОДЗ, петелька, знак через неё не меняется.
Пробная точка x = 0 на интервале (−5; +∞): подставляем в 2(x + 8)/((x + 5)(x + 7)(x + 8)) и получаем 2·8/(5·7·8) = 16/280 = 2/35 > 0, значит знак «+». Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
Через корни −7 и −5 знаки чередуются; через петельку −8 знак НЕ меняется. Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+».