условие
шаг 1.Область допустимых значений
Раскладываем x² − 5x = x(x − 5). Знаменатели не должны обращаться в ноль.
ОДЗ
шаг 2.Сводим к одной дроби
Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю x(x − 5)(x − 4). Первое слагаемое домножаем на (x − 4), второе (−x²) — на x(x − 5)(x − 4), третье (1/(x − 4)) — на x(x − 5), четвёртое (−5/x) — на (x − 5)(x − 4).
шаг 3.Раскрываем числитель
Раскрываем каждое произведение и приводим подобные. Старшие степени x⁵, x⁴ и x³ взаимно уничтожаются, свободный член — тоже.
шаг 4.Метод интервалов
Корни в порядке возрастания: 0 (выколота по ОДЗ, чётная кратность → петелька, знак не меняется), 3 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≥), 4 (выколота — точка разрыва), 5 (выколота — точка разрыва).
Пробная точка x = 10: −10·7/(10·5·6) < 0, значит на (5; +∞) знак «−».
Корни нечётной кратности — знаки чередуются влево; через x = 0 (общий ноль числителя и знаменателя) знак НЕ меняется — петелька. Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+» вместе с корнем числителя 3; точки 0, 4 и 5 остаются выколотыми.