Задача 10150189 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 3}{x^{2} + 3 x} \geq x + \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x}

шаг 1.Область допустимых значений

Раскладываем x² + 3x = x(x + 3). Знаменатели не должны обращаться в ноль.

ОДЗ

x^{2} + 3 x = x (x + 3)

{\begin{matrix} x (x + 3) \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 0 \\ x \neq - 3 \\ x \neq - 2 \end{matrix}

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю x(x + 3)(x + 2). Первое слагаемое домножаем на (x + 2), второе (−x) — на x(x + 3)(x + 2), третье (−1/(x + 2)) — на x(x + 3), четвёртое (−1/x) — на (x + 3)(x + 2).

\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 3}{x (x + 3)} - x - \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x} \geq 0

\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 3) (x + 2)}{x (x + 3) (x + 2)} - \frac{x \cdot x (x + 3) (x + 2)}{x (x + 3) (x + 2)} -

- \frac{x (x + 3)}{x (x + 3) (x + 2)} - \frac{(x + 3) (x + 2)}{x (x + 3) (x + 2)} \geq 0

шаг 3.Раскрываем числитель

Собираем числитель в одну дробь, раскрываем каждое произведение и приводим подобные. Старшие степени x⁴ и x³ взаимно уничтожаются, свободный член — тоже.

(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 3) (x + 2) - x^{2} (x + 3) (x + 2) -

- x (x + 3) - (x + 3) (x + 2) =

= x^{4} + 2 x^{3} + 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x + 3 x + 6 -

- x^{4} - 5 x^{3} - 6 x^{2} - x^{2} - 3 x - x^{2} - 5 x - 6 =

= x^{2} + x = x (x + 1)

\frac{x (x + 1)}{x (x + 3) (x + 2)} \geq 0

шаг 4.Метод интервалов

Корни в порядке возрастания: −3 (выколота — точка разрыва), −2 (выколота — точка разрыва), −1 (закрашена — корень числителя, нестрогое ≥), 0 (выколота — корень четной кратности → петелька, знак не меняется).

Пробная точка x = 10: 10·11/(10·13·12) > 0, значит на (0; +∞) знак «+». Корень 0 чётной кратности — знак через эту точку не меняется (петелька). Решением ≥ 0 будут интервалы со знаком «+» вместе с корнем числителя −1; точки −3, −2, 0 остаются выколотыми.

ответ

x \in (- 3; - 2) \cup [- 1; 0) \cup (0; + \infty)